设函数F(X)=ax^2+bx+c,且F(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证: a>0且-3<b/a<-3/4 请给详细过程
设函数F(X)=ax^2+bx+c,且F(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证:a>0且-3<b/a<-3/4请给详细过程,谢谢...
设函数F(X)=ax^2+bx+c,且F(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证:
a>0且-3<b/a<-3/4
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a>0且-3<b/a<-3/4
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(1)反证法易证a>0:
假设a≤0,则2b<2c<3a≤0,-3a≥0
由题意可知a+b+c=-a/2
即-3a=2(b+c)
左边为一非负数,右边为一负数,矛盾,故a>0.
(2)下面证明-3<b/a<-3/4:
∵2c=-3a-2b,∴3a>-3a-2b>2b,
∵a>0,上不等式各边同除以a得:
-3- 2(b/a)<3…………①
且-3-2(b/a)>2(b/a)…………②
由①得:b/a>-3
由②得:b/a<-3/4
综上所述:a>0且-3<b/a<-3/4
证毕。
假设a≤0,则2b<2c<3a≤0,-3a≥0
由题意可知a+b+c=-a/2
即-3a=2(b+c)
左边为一非负数,右边为一负数,矛盾,故a>0.
(2)下面证明-3<b/a<-3/4:
∵2c=-3a-2b,∴3a>-3a-2b>2b,
∵a>0,上不等式各边同除以a得:
-3- 2(b/a)<3…………①
且-3-2(b/a)>2(b/a)…………②
由①得:b/a>-3
由②得:b/a<-3/4
综上所述:a>0且-3<b/a<-3/4
证毕。
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