Question

质能关系的推导

Answer 1

在狭义相对论中，动能定理和动量定理是仍然成立的。考虑一个物体受到一个定向的力F的作用，由静止加速到速度u，把这个方向定为x方向，则物体获得的能量为
ΔE=∫Fdx=∫(dp/dt)dx=∫dp(dx/dt)=∫udp=∫ud(mu)
(注：积分上下限为从速度为0的状态积到速度为u的状态)
利用分部积分，得
∫ud(mu)=Δ(mu^2)-∫mudu
由质速关系
m=γm0[注：γ为洛伦兹因子，γ=(1-u^2/c^2)^(-1/2)]
以及物体最初速度为0，故
Δ(mu^2)=mu^2
于是
ΔE=mu^2-m0∫γudu
通过查阅积分表，可知
∫γudu=c^2(1-1/γ)
代入前一个式子，可得
ΔE=mu^2+m0c^2/γ-m0c^2=γm0u^2+m0c^2/γ-m0c^2=γm0c^2-m0c^2
=mc^2-m0c^2
也就是说，将一个物体从静止加速到速度u，物体得到了(mc^2-m0c^2)的能量。再加上物体原有的静能m0c^2，便得到了质能关系
E=mc^2