Question

在三角形ABC中，已知角A=90度，AB=AC，D为AC中点，AE垂直于BD于E，延长AE交BC于F，求证：角ADB=角CDF

Answer 1

作CE垂直AC,交AF的延长线于M。因为AF垂直BD，所以角ABE+角BAE=90度。因为角BAC=90度，所以角EAD+角EAB=90度。所以角DAE=角ABE。在三角形ACM和三角形BAD中，角DAE=角ABE，AC=AB，角ACM=角BAD=90度。所以三角形ACM全等三角形BAD，所以角M=角ADB，AD=CM。因为AD=DC，所以CM=CD。在三角形CMF和三角形CDF中，CF=CF，角MCF=角DCF=45度，CM=CD。所以三角形CMF全等三角形CDF，所以角M=角CDF，所以角ADB=角CDF。

Answer 2

证明：
作AG平分∠BAC，交BD于点G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD
∴∠ABE+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAE
∵AB=AC，∠C=∠BAG=45°
∴△ABG≌△CAF
∴AG=CF
∵∠C=∠DAG=45°，DA=DC
∴△DAG≌△DCF
∴∠ADB=∠CDF