Question

求函数 y=2x+根号下x2-3x+2 的值域

Answer 1

求函数y=2x+√(x²-3x+2)的值域

解：由x²-3x+2=(x-1)(x-2)≧0，可知函数的定义域为x≦1或x≧2.

令y'=2+(2x-3)/[2√(x²-3x+2)]=0

得4√(x²-3x+2)=-2x+3

16(x²-3x+2)=4x²-12x+9

12x²-36x+23=0

12(x²-3x+23/12)=12[(x-3/2)²-1/3]=12[x-3/2+√(1/3)][x-3/2-√(1/3)]=0

故得驻点x₁=3/2-(√3)/3≈0.927；x₂=3/2+(√3)/3≈2.077.

x₁是极大点，x₂是极小点。

y(1)=2；y(2)=4.

x→-∞时y→-∞；x→+∞时y→+∞

故函数的值域为(-∞，3+(5/6)√3]∪[4，+∞）

Answer 2

对于y=2x+√(x^2-3x+2)，必须有：x^2-3x+2≥0
所以：(x-1)(x-2) ≥0
即：x-1≥0，x-2≥0。
x≥2。
或者：x-1≤0，x-2≤0。
解得：x≤1。
即：x∈[2,∞)，或者x∈(-∞,1]
当x∈[2,∞)时，因为y(2)=8，所以y∈[8,∞)；
当x∈(∞,1]时，因为y(1)=2，所以y∈(-∞,2]。