Question

学霸帮忙看一下这道题

学霸帮忙看一下这道题这种题的解题步骤是怎么的？学渣一个求指点～

Answer 1

题目

已知f（x）=不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A.

（-2，0）

B.

（-∞，0）

C.

（0，2）

D.

（-∞，-2）

答案

解：①当x≤0时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1，
故f（x）在（-∞，0]上是减函数；
②当x＞0时，f（x）=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
故f（x）在（0，+∞）上是减函数；
又∵（0-2）2-1=-（0+1）2+4，
∴f（x）在R上是减函数，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化为
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；
故选D．

解析

由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得f（x）在R上是减函数，化恒成立问题为x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；从而化为最值问题即可．

点评

本题考查了分段函数的性质应用及分段函数的单调性的判断，同时考查了恒成立问题化为最值问题，属于中档题．