Question

对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分的区别和联系。

Answer 1

说简单点：对弧长的积分只是对“弧长的大小积分”,而对坐标的积分则包含对“大小与方向”两个方面的积分.从形式上看,对弧长的积分是标量之间的乘法,对坐标的积分是向量之间的点乘.
说点物理方面的应用应该更容易理解（这两个例子其实就是高数书上引出两类曲线积分的引例,也是普通物理的基础）：
（1）设想有一根绳子,其质量线密度λ并不均匀,即它是沿绳子曲线每点位置坐标的函数λ(r),如何求出这条绳子的总质量?只要把λ(r)与对应位置的弧微分ds相乘就得到对应ds长度的质量,再对它沿着绳子曲线L积分就得到绳子的总质量了,即m=∫λ(r)ds,积分路径是绳子对应的曲线L.这个是对弧长的积分.
（2）设想有一质点在变力F(r)（F和r都是矢量,有大小有方向）的作用下,沿着轨迹S运动,如何求出某一段时间内变力F对质点所做的总功?只要把变力F(r)与某一微小时间间隔内的位移dr点乘,就可以得到这一小段时间内力对质点做的微功,然后再对质点运动轨迹S积分就可以得到力对质点做的总功,即W=∫F(r)·dr,积分路径是质点运动的轨迹S.这个是对坐标的积分.（这里所有的表达式都是矢量）
很容易看出两者的区别,这两类积分的名称就是从积分微元上定义的,ds是弧微分,dr是坐标微分（位移）.当然也能看出两者的联系,只要我们将对坐标的积分限定一个方向,比如我只要知道变力F在竖直方向上对质点做了多少功,只要将（2）中表达式把dr分开,写成方位角乘以弧长ds的形式,对坐标积分就可以变为对弧长积分.这就反映出两种积分的关系：投影关系.