lim(n→∞)(k=1→n)∑√[(n+k)(n+k+1)/n^4]求解
lim(n→∞)(k=1→n)∑√[(n+k)(n+k+1)/n^4]=3/2
lim(n→∞)(k=1→n)∑√[(n+k)(n+k+1)/n^4]
=lim(∑(n+k)²+(n+k))/n^4
=lim((2n)(2n+1)(2*2n+1)/6-n(n+1)(2n+1)/6+n²+n(n+1)/2)/n^4
=lim((2n+1)(7n+1)/6+n+(n+1)/2)/n^3
=3/2
解决问题的极限思想
极限思想方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。
数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题，正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。
人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。
=lim(∑(n+k)²+(n+k))/n^4=lim((2n)(2n+1)(2*2n+1)/6-n(n+1)(2n+1)/6+n²+n(n+1)/2)/n^4
=lim((2n+1)(7n+1)/6+n+(n+1)/2)/n^3=3/2
根号下（n+k）（n+k+1）大于n+k，小于n+k+1，放缩后等差求和，两边极限都是二分之三
扩展资料
极限的求法有很多种：
1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值
2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限
4、利用无穷小的性质求极限
5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限
7、利用两个重要极限公式求极限
简单计算一下即可，答案如图所示
√(n+k)(n+k+1) 从数值上来理解，它肯定大于（n+k），因为可以把根号里的“1”去掉，进行缩小。然后它肯定小于（n+k+1），因为可以在根号里多加一个“1”，进行放大。
即 (n+k) < √(n+k)(n+k+1) < (n+k+1) 这样就可以得到原式的一个放缩的结果的式子
=>∑ 1/n^2 (n+k) < ∑ 1/n^2 √(n+k)(n+k+1) < ∑ 1/n^2 (n+k+1)
现在就求两边的极限，然后夹逼得到结果。
左边还是比较简单，括号里提个n，与外面的1/n^2约掉一个n，可以得到 ∑1/n(1+k/n)
用下定积分定义，∫1+x dx，积分区间为0~1，可以得到3/2
右边的话，把1/n^2乘进去，可以得到∑ （1/n + k/n^2 + 1/n^2），这里提一个公因子1/n
=> ∑ [ 1/n^2 + 1/n( k/n + 1) ] PS:是 1/n 与 k/n^2的公因子
这时候就发现 ∑ 1/n^2 就是n个1/n^2相加，结果为1/n。
而∑ 1/n( k/n + 1) 上面已经求过了，就是3/2 二者相加取极限就是3/2
所以，综上所述，原式的极限为3/2
PS：最近刚刚在做考研题，希望对后来者有帮助。
