Question

三元一次方程组的通用解法:

以下为三元一次方程的通用形式:
ax+by+cz+d=0
ex+fy+gz+h=0
ix+jy+kz+m=0
加减消元解法一:
aex+bey+cez+de=0
eax+fay+gaz+ha=0
aix+biy+ciz+di=0
iax+jay+kaz+ma=0
(be-fa)y+(ce-ga)z+(de-ha)=0
(bi-ja)y+(ci-ka)z+(di-ma)=0
(be-fa)(bi-ja)y+(ce-ga)(bi-ja)z+(de-ha)(bi-ja)=0
(bi-ja)(be-fa)y+(ci-ka)(be-fa)z+(di-ma)(be-fa)=0
[(ce-ga)(bi-ja)-(ci-ka)(be-fa)]z+[(de-ha)(bi-ja)-(di-ma)(be-fa)]=0
z=[(di-ma)(be-fa)-(de-ha)(bi-ja)]/[(ce-ga)(bi-ja)--(ci-ka)(be-fa)]
加减消元解法二:
aex+bey+cez+de=0
eax+fay+gaz+ha=0
eix+fiy+giz+hi=0
iex+jey+kez+me=0
(be-fa)y+(ce-ga)z+(de-ha)=0
(fi-je)y+(gi-ke)z+(hi-me)=0
(be-fa)(fi-je)y+(ce-ga)(fi-je)z+(de-ha)(fi-je)=0
(fi-je)(be-fa)y+(gi-ke)(be-fa)z+(hi-me)(be-fa)=0
[(ce-ga)(fi-je)-(gi-ke)(be-fa)]z+[(de-ha)(fi-je)-(hi-me)(be-fa)]=0
z=[(hi-me)(be-fa)-(de-ha)(fi-je)]/[(ce-ga)(fi-je)-(gi-ke)(be-fa)]
我们都知道三元一次方程组的解是唯一的,但按上面两种思路得到的z值不一样,消元法共可得三种解,代入法也可得三种解,以上的解的值在系数确定的话,应该是相同的,那么有办法通过变形来证明解是一样的吗?

Answer 1

Answer 2

1． 二元一次方程组的解的情况有以下三种：

① 当时，方程组有无数多解。

② 当时，方程组无解。

③ 当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：

（这个解可用加减消元法求得）

2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。