Question

反常积分怎么做？

Answer 1

作不定积分：
∫dx/(x(lnx)^k)
当k=1时,上式=ln(lnx)+C发散
当k≠1时,不定积分则
=1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) + C
当k<1时发散.
当k>1时,limx->+∞ 1/(-k+1)*(lnx)^(-k+1) = 0
所以定积分∫(2到+∞) dx/[x(lnx)^k]
=0-1/(-k+1)*(ln2)^(-k+1)
=[(ln2)^(1-k)]/(k-1)
设函数f(k)=[(ln2)^(1-k)]/(k-1),f'(k)=[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2
当f'(k)=0时,[-(k-1)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)]/(k-1)^2=0
即(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)-(ln2)^(1-k)=0
(1-k)ln(ln2)*(ln2)^(1-k)=(ln2)^(1-k)
(1-k)ln(ln2)=1
k=1-1/ln(ln2)
因为0=ln11.
当k>1-1/ln(ln2)时,f'(k)>0,当1<k<1-1 ln(ln2)时,f'(k)所以当k=1-1/ln(ln2)时f(k)取极小值也是最小值.