Question

若a>0，b>0，且1/a+1/b=√(ab)。 （1）a³+b³最小值（2）是否存在a,b，使得2a+3b=6说明理由。

若a>0，b>0，且1/a+1/b=√(ab)。

（1）a³+b³最小值（2）是否存在a,b，使得2a+3b=6说明理由。

Answer 1

解：（1）√(ab)=1/a+1/b≥2/√(ab)
∴ab≥2
a³+b³≥2√(a³b³)≥2√(2³)=4√2。
（2）存在2a+3b=6，
(2a+3b)(1/a+1/b)=6√(ab)，
2+2a/b+3b/a+3=6√(ab)，
2(a/b)+3(b/a)=6√(ab)-5>=2√[2(a/b)×3(b/a)]=2√6，
6√(ab)>=2√6+5，
√(ab)>=(2√6+5) / 6>(2×2+5)/6=3/2，
所以：ab>9/4>2，
所以存在。