Question

中值定理证明

中值定理证明三道中值定理证明题，请大神帮看，最好能写一下过程，谢谢

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Answer 1

(1)证：假设对于任意x∈[0,1],f(x)﹤0,
那么f(x)/x﹤0,由保号性知lim(x→0)f(x)/x﹤0,矛盾,
假设对于任意x∈[0,1],f(x)﹥0,
那么f(x)/(x-1)﹤0,由保号性知lim(x→0)f(x)/x﹤0,矛盾,
∴存在ζ1,ζ2∈(0,1)使f(ζ1)﹥0,f(ζ2)﹤0,
又∵f(x)在ζ1与ζ2之间连续,
∴由零点定理知存在ζ在ζ1与ζ2之间使f(ζ)=0,
∴存在ζ∈(0,1)使f(ζ)=0.
(2)证：f(0)=f(1)=0,f′(0)=1,f′(1)=2,
设g(x)=f(x)/e^x,∴g(x)在[0,1]上可导,g(0)=g(1)=0,
∴由罗尔中值定理知存在η1∈(0,1)使g′(η1)=0,
即(f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1)/e^(2η1)=0,
∴f′(η1)·e^η1-f(η1)·e^η1=0,
设h(x)=f′(x)·e^x-f(x)·e^x,
∴h(0)=1,h(η1)=0,h(1)=2e,h(x)在[0,1]上连续,
∴存在η2∈(η1,1)使h(η2)=1,∴h(0)=h(η2),
又∵h(x)在[0,η2]上可导,
∴由罗尔中值定理知存在η∈(0,η2)使h′(η)=0,
即f″(η)·e^η+f′(η)·e^η-f′(η)·e^η-f(η)·e^η=0,
∴f″(η)·e^η-f(η)·e^η=0,∴f″(η)=f(η),
∴存在η∈(0,1)使f″(η)=f(η).

Answer 2

追问

哇，谢谢大神😊

我想问一下，那个第一题，根的个数，是怎么得出结论的？

我看不出来😭

还有，你传上来的图片好清楚啊，是可以设置的嘛？为什么我穿上来的老是失真

追答

第一题画一画就好了

改变斜率就可以

追问

懂了，谢谢😊