Question

椭圆焦点到椭圆的最短距离为什么是短

Answer 1

谁说的，是长轴端点吧！焦点到短轴的距离就是a，而到最近的长轴端点的距离是a-c,很明显你的结论是不对的。

证：1、设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)
因为椭圆的对称性，这里我们可以只考虑右焦点。
则对于椭圆上任意一点（p,q)有：
该点到右焦点（c，0）的距离d=sqrt((p-c)^2+q^2)
=sqrt((x-c)^2+b^2-b^2*p^2/a^2)
=sqrt(c^2*p^2/a^2-2c*p+c^2+b^2)
=sqrt(c^2*p^2/a^2-2c*p+a^2)
=sqrt((c*p/a-a)^2)
=abs(c*p/a-a）
因为（p，q)在椭圆上，所以-a<=p<=a
所以-c-a<=c*p/a-a<=c-a<=0
又因为d>=0,所以a-c<=d<=a+c,当且仅当(p,q)为右长轴端点时d=a-c成立
2、当椭圆方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)时，与1同理。
综上所述，椭圆上的点到焦点的最短距离为a-c,该点为近端的长轴端点。

注：sqrt()为开方函数，abs()为绝对值函数，A^b表示A的b次方

Answer 2

a-√a²-b²

证：1、设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)
因为椭圆的对称性,这里我们可以只考虑右焦点.
则对于椭圆上任意一点（p,q)有：
该点到右焦点（c,0）的距离d=sqrt((p-c)^2+q^2)
=sqrt((x-c)^2+b^2-b^2*p^2/a^2)
=sqrt(c^2*p^2/a^2-2c*p+c^2+b^2)
=sqrt(c^2*p^2/a^2-2c*p+a^2)
=sqrt((c*p/a-a)^2)
=abs(c*p/a-a）
因为（p,q)在椭圆上,所以-a