Question

级数sinn/n²是收敛的还是发散的

Answer 1

解题过程如下：

性质：

收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。

收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。

Answer 2

对任意正整数 n，| (sinn) / n^2 |≤ 1/n^2 ，
并且级数 ∑(1/n^2) 收敛，
所以级数 ∑(sinn) / n^2 绝对收敛。

追问

为什么不把 sinn换成n

这个我很纠结，比如级数ln(1+1/n²)可以换成1/n² 为什么这个换不了

追答

不用换，sinn 是有界量，|sinn| ≤ 1 。

Answer 3

因为Σ1/n^2收敛，所以这个级数也自然收敛