Question

设f(x)={e^x,x<0 x,x≥0},F(x)=∫[1→x]f(t)dt,则F(x)

问的是 (a)极限不存在 (b)极限存在但不连续 (c)连续但不可导 (d)可导,且F'(0)=0

Answer 1

这种题首先要求出F(x)
当x≤0时,
F(x)=∫[-1→x] f(t) dt
=∫[-1→x] e^t dt
=e^t [-1→x]
=e^x-e^(-1)
当x>0时
F(x)=∫[-1→x] f(t) dt
=∫[-1→0] e^t dt+∫[0→x] t dt
=e^t |[-1→0] + (1/2)t² [0→x]
=1-e^(-1)+(1/2)x²
因此F(x)=e^x-e^(-1) x≤0
1-e^(-1)+(1/2)x² x>0
易证x→0时,左右极限相等,均为1-e^(-1),因此F(x)连续
然后用左右导数的定义求左右导数
lim [x→0-] [f(x)-f(0)]/x
=lim [x→0-] [e^x-e^(-1)-1+e^(-1)]/x
洛必达法则
=lim [x→0-] e^x/1
=1
lim [x→0+] [f(x)-f(0)]/x
=lim [x→0+] [1-e^(-1)+(1/2)x²-1+e^(-1)]/x
=lim [x→0+] (1/2)x²/x
=0
因此F(x)在x=0处左右导数不等,因此不可导.

追问

亲，大括号里边是1，不是-1，麻烦解答下

Answer 2

先求F(x)再讨论它在x＝0处的连续，可导。
（1）x≥0时，F(x)=∫(1→x)tdt
=1/2*x^2-1/2
（2）x＜0时,要注意(x,0)和(0,1)区间的f(x)不同。
F(x)=∫(0→x)e^tdt+∫(1→0)tdt
=e^x-3/2
连续性定义：lim(x→0)F(x)＝-1/2＝F(0)，所以F(x)在x=0处连续。
可导：
lim(x→0-) [F(x)-F(0)]/(x-0)＝1
lim(x→0+) [F(x)-F(0)]/(x-0)＝0
左右导数不想等，所以不可导。