cosx/x用柯西收敛准则证明x趋紧无穷大极限存在
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先利用和差化积公式进行化简
[cosnx-cos(n+1)x]/n=2sin[(n+1/2)x]sin(x/2)/n
原级数=2sin(x/2)*∑(n=1->∞)sin[(n+1/2)x]/n
令xn=sin[(n+1/2)x]/n
对任意ε>0，存在正整数N=[2/ε]+1，使对任意m,n>N，有
|xm-xn|=|sin[(m+1/2)x]/m-sin[(n+1/2)x]/n|
<=|sin[(m+1/2)x]/m|+|sin[(n+1/2)x]/n|
<=1/m+1/n
[cosnx-cos(n+1)x]/n=2sin[(n+1/2)x]sin(x/2)/n
原级数=2sin(x/2)*∑(n=1->∞)sin[(n+1/2)x]/n
令xn=sin[(n+1/2)x]/n
对任意ε>0，存在正整数N=[2/ε]+1，使对任意m,n>N，有
|xm-xn|=|sin[(m+1/2)x]/m-sin[(n+1/2)x]/n|
<=|sin[(m+1/2)x]/m|+|sin[(n+1/2)x]/n|
<=1/m+1/n
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