高数求极限,对于sinn求极限,为什么可以求无极限,也可以求有极限?
f(x)=sgn(x),g(x)=-sgn(x),在x→0时都没有极限,但是f(x)+g(x)≡0,在x→0时的极限存在。
例:求一道极限题lim(sinn!×n^2/3)/(n+1)。
解法一:(定义法)
∵对任意的ε>0,存在N=[1/ε³]([1/ε³]表示不超过1/ε³的最大整数),当n>N时,
有|n^(2/3)sinn!/(n+1)|≤n^(2/3)/(n+1)<n^(2/3)/n=n^(-1/3)<ε
∴根据极限定义,知lim(n->∞)[n^(2/3)sinn!/(n+1)]=0;
解法二:(两边夹法)
∵|n^(2/3)sinn!/(n+1)|≤n^(2/3)/(n+1)
∴-n^(2/3)/(n+1)≤n^(2/3)sinn!/(n+1)≤n^(2/3)/(n+1)
∵lim(n->∞)[n^(2/3)/(n+1)]=lim(n->∞)[(1/n^(1/3))/(1+1/n)]=0
同理lim(n->∞)[-n^(2/3)/(n+1)]=0
∴根据两边夹定理,知lim(n->∞)[n^(2/3)sinn!/(n+1)]=0。
扩展资料
证明以下数列极限不存在:
Lim(sinn)/(n的平方+1)=0,n到正无穷:
lim(sinn)/(n^2+1)
因为,sinn有界
1/(n^2+1)趋于0,为无穷小量
故,直接有:
lim(sinn)/(n^2+1)=0。
2024-10-16 广告