高等数学，中值定理。
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令g(x)=[√(1+x^2)-x]f(x)，则g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导
因为g(0)=f(0)=0，g(1)=(√2-1)f(1)=0
所以根据罗尔定理，存在ε∈(0,1)，使得g'(ε)=0
[√(1+ε^2)-ε]f'(ε)+[ε/√(1+ε^2)-1]f(ε)=0
[√(1+ε^2)-ε]f'(ε)+[ε-√(1+ε^2)]f(ε)/√(1+ε^2)=0
f'(ε)-f(ε)/√(1+ε^2)=0
√(1+ε^2)f'(ε)-f(ε)=0
证毕
因为g(0)=f(0)=0，g(1)=(√2-1)f(1)=0
所以根据罗尔定理，存在ε∈(0,1)，使得g'(ε)=0
[√(1+ε^2)-ε]f'(ε)+[ε/√(1+ε^2)-1]f(ε)=0
[√(1+ε^2)-ε]f'(ε)+[ε-√(1+ε^2)]f(ε)/√(1+ε^2)=0
f'(ε)-f(ε)/√(1+ε^2)=0
√(1+ε^2)f'(ε)-f(ε)=0
证毕
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