讨论下列函数的连续性,若有间断点指出其类型
f(x)=(tan2x)/x显然x不等于0,且x不等于-π/4+k*π/2且不等于π/4+k*π/2。
故f(x)定义域为x属于(-π/4+k*π/2,0)并(0,π/4+k*π/2)。
f(x)为初等函数在定义域内连续。
因lim(x-》0)(tan2x)/x=lim(x-》0)2x/x=2。
故x=0为可去间断点。
因lim(x-》π/4)x/tan2x=0故lim(x-》π/4)(tan2x)/x=∞。
所以π/4+k*π/2是我穷间断点。
同理-π/4+k*π/2是我穷间断点。
解:
f(x)={2^(1/x)-1}/2^(1/x)+1=2-1/2^(1/x)。
x属于(-∞,0)并(0+∞)。
f(x)为初等函数在定义域内连续。
lim(x-》-∞)f(x)=2-1/lim(x-》-∞)2^(1/x)=2-1=1。
lim(x-》+∞)f(x)=2-1/lim(x-》+∞)2^(1/x)=2-1=1。
lim(x-》-∞)f(x)=lim(x-》+∞)f(x)。
lim(x-》0)f(x)=2存在。
但0不属于(-∞,0)并(0+∞)。
故x=0为可去间断点。
扩展资料
判断一个函数间断点,及其类型
1、找出无定义的点,就是间断点。
2、用左右极限判断是第一类间断点还是第二类间断点,第一类间断点包括第一类可去间断点和第一类不可去间断点,如果该点左右极限都存在,则是第一类间断点,其中如果左右极限相等,则是第一类可去间断点。
3、如果左右极限不相等,则是第一类不可去间断点,即第一类跳跃间断点。如果左右极限中有一个不存在,则第二类间断点。如果函数f在点x连续,则称x是函数f的连续点。
如果函数f在点x不连续,则称x是函数f的间断点。
1、间断点是指在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象,那么,xo就称为函数的不连续点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点,在非无穷间断点中,还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点,不存在就是跳跃间断点。
2、类型?可去间断点:函数在该点左极限、右极限存在且相等。跳跃间断点:函数在该点左极限、右极限存在,但不相等。无穷间断点:函数在该点可以无定义,且左极限、右极限至少有一个不存在,且函数在该点极限为∞。
振荡间断点:函数在该点可以无定义,当自变量趋于该点时,函数值在两个常数间变动无限多次。
x=atanu
dx=a(secu)^2 du
∫dx/(a^2+x^2)^(3/2)
=(1/a^2)∫ du/secu
=(1/a^2)∫ cosu du
=(1/a^2) sinu + C
=(1/a^2) [x/√(a^2+x^2)] + C
f(x)=x,