求该函数的幂级数展开式
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针对你提示的方法：ln(3+x)=ln3+ln(1+x/3)
对ln(1+x/3)求导，再把它展开，之后逐项积分。
解法二：
[ln(3+x)]'=(1/3)/(1+x/3)，
而1/(1+x/3)是首项为1,公比为(-x/3)的等比数列之和
所以1/(1+x/3)=∑(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
左右同时积分：
∫1/(1+x/3)=∫∑(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
=∑∫(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
=∑1/n*(-x/3)^n n=1,2,3...
所以ln(3+x)展开式为：
1/3∑1/n*(-x/3)^n n=1,2,3...
对ln(1+x/3)求导，再把它展开，之后逐项积分。
解法二：
[ln(3+x)]'=(1/3)/(1+x/3)，
而1/(1+x/3)是首项为1,公比为(-x/3)的等比数列之和
所以1/(1+x/3)=∑(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
左右同时积分：
∫1/(1+x/3)=∫∑(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
=∑∫(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
=∑1/n*(-x/3)^n n=1,2,3...
所以ln(3+x)展开式为：
1/3∑1/n*(-x/3)^n n=1,2,3...
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追问
为什么 -1<x/3≤1
追答
因为：
而1/(1+x/3)是首项为1,公比为(-x/3)的等比数列之和
所以1/(1+x/3)=∑(-x/3)^(n-1) n=1,2,3...
必须保证: 公比 : -1<(-3/x)<1
否则: Sn=1*(1-(-x/3)^n)/(1+x/3)，含有(-x/3)^n
因为lim (-x/3)^n ≠0
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