定积分的问题

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2017-12-26 · TA获得超过886个赞
知道小有建树答主
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解:
分析:方法还是比较多的,不知道你学到那个阶段了,这里只用比较简单的初级的,泰勒定理的就不用了!
这种题,首先考虑应用等价无穷小替换!
显然:ln(1+x) ~ x
分母等价为:x³
对于分子:
(x^x)·[1-(sinx/x)^x]
(x^x)·{1-e^[xln(sinx/x)]}

lim(x→0+) xln(sinx/x)
=0

1-e^[xln(sinx/x)] ~ -xln(sinx/x)
-xln(sinx/x)= -x ln[1+(sinx-x)/x]
ln[1+(sinx-x)/x] ~ (sinx-x)/x

1-e^[xln(sinx/x)] ~ x-sinx
根据基本公式:
x-sinx ~ (1/6)x³

分子等价于:(x^x)(1/6)x³
而:
lim(x→0+) x^x
=e^lim(x→0+) xlnx
=e^lim(x→0+) lnx/(1/x)
=e^lim(x→0+) (1/x)/(-1/x²)
=1
综合:
原极限
=lim(x→0+) (x^x)·[1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+) [1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+) {1-e^[xln(sinx/x)]}/x³
=lim(x→0+) -xln(sinx/x)]/x³
=lim(x→0+) -xln[1+(sinx-x)/x]]/x³
=lim(x→0+) -x·[(sinx-x)/x] / x³
=lim(x→0+) (x-sinx)/x³
=1/6
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