Question

高数定积分问题求解答

高数定积分问题求解答这块积分区间为什么是0到π/2和π/2到π啊，不应该是π/4吗？

Answer 1

解：∵xf(x)在x∈[-π，π]的积分为常数，并设为A，有f(x)=(sinx)^3+A ①。为再次利用常数A，在①的两端同乘x、再对xf(x)求x∈[-π，π]的积分，故A=∫(x=-π，π)x(sinx)^3dx+∫(x=-π，π)Axdx ②。对②右边的积分，由于在积分区间，x(sinx)^3为偶函数、Ax为奇函数，利用其性质，有A=2∫(x=0，π)x(sinx)^3dx。再利用(sinx)^3=[3sinx-sin(3x)]/4，得A=4π/3【题中用的是x=π-t代换后再变形】，代入①即得。供参考啊。

追问

图片没发上去吧，麻烦看一下我的问题中的第一个

Answer 2

∫(0,π)√[sin(x/2)-cos(x/2)]^2dx
你注意一下，是sin(x/2)-cos(x/2)，而不是sinx-cosx
当0<x/2<π/4时，0<x<π/2，sin(x/2)<cos(x/2)；
当π/4<x/2<π/2时，π/2<x<π，sin(x/2)>cos(x/2)。