Question

一道求极限求凹凸性的题

一道求极限求凹凸性的题求详细步骤

Answer 1

求函数y=(x+1)/x²的单调区间，极值以及凹凸区间和拐点。

解：定义域：x≠0;

令y'=[x²-2x(x+1)]/x^4=(-x²-2x)/x^4=-(x+2)/x³=0，得驻点x=-2；

当x<-2时y'<0，故在区间(-∞，-2]内单调减；当-2<x<0时y'>0，∴在区间[-2，0)单调增；

当x>0时,y'<0，故在区间(0，+∞）内单调减；

x=-2是极小点，极小值y=y(-2)=-1/4；无极大值；

x→0limy=x→0lim[(x+1)/x²]=+∞;因此x=0是其铅垂渐近线。

x→-∞limy=x→-∞lim[(x+1)/x²]=x→-∞lim(1/2x)=0，

x→+∞limy=x→+∞lim[(x+1)/x²]=x→+∞lim(1/2x)=0，

故y=0是其水平渐近线；

令y''=-[x³-3x²(x+2)]/x^6=(2x³+6x²)/x^6=(2x+6)/x^4=0，得x=-3；

当x<-3时y''<0；当-3<x<0时y''>0；故(-3，-2/9)是拐点。

其图像如下：

Answer 2

答：从图中给出的条件来看：（-∞，0）是上凸，（0，+∞）上凹。分析：(-∞,-2)是增函数，函数向上走；在（-2，0），函数向下走。说明函数在x=-2处有极大值，函数只能是上凸。当走到x=0时，函数还是继续往下走，说明f(0)是拐点，函数数的凹凸才此处发生变化。上凸变为上凹。