求排列n(n-1)....3,2,1的逆序数,并讨论该排列的奇偶性 ?
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逆序数是n(n-1)/2。
假设n是偶数,则n=2m,m是奇数或偶数,所以n(n-1)/2=m(2m-1)。这里的2m-1肯定是奇数,但是m可奇可偶,所以当m是奇数2k+1(此时n=2m=4k+2)时,n(n-1)/2是奇数。当m是偶数2k(此时n=2m=4k)时,n(n-1)/2是偶数。
假设n是奇数,则n=2m+1,m是奇数或偶数,所以n(n-1)/2=m(2m+1)。同样的讨论,得到结论:当m是奇数2k+1(此时n=2m+1=4k+3)时,n(n-1)/2是奇数。当m是偶数2k(此时n=2m+1=4k+1)时,n(n-1)/2是偶数。
综上,当n=4k或4k+1是偶排列,当n=4k+2或4k+3时,是奇排列。
假设n是偶数,则n=2m,m是奇数或偶数,所以n(n-1)/2=m(2m-1)。这里的2m-1肯定是奇数,但是m可奇可偶,所以当m是奇数2k+1(此时n=2m=4k+2)时,n(n-1)/2是奇数。当m是偶数2k(此时n=2m=4k)时,n(n-1)/2是偶数。
假设n是奇数,则n=2m+1,m是奇数或偶数,所以n(n-1)/2=m(2m+1)。同样的讨论,得到结论:当m是奇数2k+1(此时n=2m+1=4k+3)时,n(n-1)/2是奇数。当m是偶数2k(此时n=2m+1=4k+1)时,n(n-1)/2是偶数。
综上,当n=4k或4k+1是偶排列,当n=4k+2或4k+3时,是奇排列。
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