Question

高等数学，多元函数条件极值

高等数学，多元函数条件极值题目如图，我对这道题有些不清楚的地方，第一个是如果这道题不用答案中的代入法而是用拉格朗日乘数法怎么做？？第二个是对于边界x^2+y^2=4，答案中把原本关于x,y的二元函数带换成了关于x的函数，求得极值8，但如果把函数替换成关于y的函数，也就是f(y)=y^4-3y^2+4，再去求极值就不对了，这是为什么？？还有答案中“设L1:x^2+y^2=4(y>0)”，为什么是>0而不是≥0呢？？
求高手解惑，谢谢！！

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Answer 1

5：x+y=1，y=1-x z=xy=x（1-x）=x-x2，变成一元函数求极值。x=1/2有极大值1/4；或者： x2-x+z=0， Δ=（-1）2-4×1×z=1-4z≥0，z≤1/4；条件极值做法：条件φ（x，y）=x+y-1=0， z=f(x,y)=xy F(x,y；λ）=f(x,y)+λφ（x，y）=xy+λ(x+y-1) F'x=f'x+λφ'x=y+λ=0,y=-λ; F'y=f'y+λφ'y=x+λ=0,x=-λ; F'λ=φ（x，y）=x+y-1=0,-λ-λ-1=0,λ=-1/2,可能的极值点（1/2,1/2）； zmax=xy=1/4 对于条件极值，不应该用AC-B2的判别法。 A=F''xx=0,B=F''xy=1,C=F''yy=0,B2-AC=1>0,该判别法认为没有极值。 AC-B2的判别法适用于无条件极值。无条件时xy∈（-∞，+∞）,没有极值。