Question

求∫(1，＋∞)dx/x（1＋x的平方）的反常积分

想问一下下图中的问题
想问一下∫（1,＋∞）（1/x－x/1+x²）dx等不等于∫（1,＋∞）（1/x）dx－∫（1,＋∞）（x/1+x²）dx





Answer 1

1/[x²*(x+1)]
=1/x² + 1/(x+1) - 1/x
=[(ax²+ax)+(bx+b)+cx²)
所以，上面的积分变换为：
=∫dx/x² + ∫dx/(x+1) - ∫dx/x
=lim[- 1/x + ln(x+1) - lnx]|x=1→+∞
=lim(-1/x)|x=0→+∞ + lim ln(1+1/x)|x=0→+∞
=lim[-0 - (-1)] + lim[ln(1+0) - ln(1+1)]
=1 - ln2

Answer 2

将x往右边放，则变为
∫(1，＋∞)1/（1＋x^2） d(x^2)
然后另t=x^2，做换元
得到∫(1，＋∞)1/（1＋t） d t
得到 ln（t+1）的原函数了
等于的 求积分能加减运算的

Answer 3

＝∫(-∞,+∞)1/(x+1)²+1d(x+1)
＝＜arctan(x+1)＞(-∞,+∞)
＝lim(x→+∞)arctan(x+1)-lim(x→-∞)arctan(x+1)
＝π/2-(-π/2)
＝π