Question

【高中数学】如图，第三问求解。

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Answer 1

g(x)=x/(1+x)=(1+x-1)/(1+x)=1-1/(1+x)
∴g(1)+g(2)+...+g(n)
=1-1/2+1-1/3+...+1-1/(1+n)
=n-[1/2+1/3+...+1/(n+1)]
而n-f(n)=n-ln(1+n)
於是n-f(n)-[g(1)+g(2)+...+g(n)]
=1/2+1/3+...+1/(n+1)-ln(1+n)

接下来用数学归纳法证明上式小於0

当n=1时,1/2-ln2≈0.5-0.693<0
假设当n=k时上式小於0,当n=k+1时,
1/2+1/3+...+1/(k+1)+1/(k+2)-ln(k+2)

<ln(k+1)-ln(k+2)+1/(k+2)
=ln[(k+1)/(k+2)]+1/(k+2)
=ln[1-1/(k+2)]+1/(k+2)
<-1/(k+2)+1/(k+2)
=0
(这是利用了对任意x∈(-1,0),不等式ln(1+x)<x恒成立的性质)
即当n=k+1时上式小於0
由数学归纳法,g(1)+g(2)+...+g(n)>n-f(n)