Question

中值定理证明题

中值定理证明题没有思路。。。谁会？在线等

Answer 1

任意x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得：
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+f″(ξ)/2! *(x−t)^2

因为f″（x）>0，所以有：
f（x）≤f(t)+f′(t)(x-t）
令t=a/2， 则
f(x)≤f(a/2) +f'(a/2)(x-a/2)
将不等式两边从a到b积分可得
∫f(x)dx ≤∫[f(a/2) +f'(a/2)+(x-a/2)]dx
=af(a/2)+f'(a/2)/2+(x-a/2)^2|(0,a)
=af(a/2)+f'(a/2)/2+(a/2)^2-f'(a/2)/2+(a/2)^2
=af(a/2)
则∫f(x)dx ≤af(a/2)
得证！

追问

这是什么方法？

好像不对

追答

任意x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得：
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+f″(ξ)/2! *(x−t)^2
这是泰勒展开式。
剩下的部分应该都能看懂

追问

证出来是＜＝吗？？？

两边从a到b的积分，乘积的积分可以写成和吗？

追答

我去，写错了。全部应该是>=
因为f″(ξ)>0,(x−t)^2>=0

所以，f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+f″(ξ)/2! *(x−t)^2>=f(t)+f′(t)(x−t)

追问

可以手写下吗

追答