Question

怎么理解数学分析中的可导必连续？

Answer 1

这是学导数的过程中，经常会犯的错误，我以前也犯过。
往往做这类函数时，直接由两边的函数表达式算出导函数，带入x0.得到所谓的“左右导数相等”，但是这时候往往忘了导数的定义和定义公式。
首先看看导数的定义公式：lim（x→x0）（f（x）-f（x0））/（x-x0）
你上面举的例子，用定义公式去算，就会发现，
1、如果函数在x0点无定义，则f（x0）无意义，定义公式无法算出来，没有导数。
2、如果函数在x0点有定义，但即不和左边连续，也不和右边连续，那么当x→x0时，无论是从x0的右边还是左边，f（x）-f（x0）的极限都不可能是0（记住，这时候f（x0）不由左右表达式计算而来）。
3、如果函数在x0点有定义，和左边连续，那么必然不和右边连续，那么当x→x0时，右边的时候f（x）-f（x0）的极限都不可能是0（记住，这时候f（x0）是有左表达式计算而来），函数无右导数。
3、如果函数在x0点有定义，和右边连续，和3、类似，无左导数。
所以可导比连续。

也举个你上面的例子来说明吧
f（x）=x+1（x≥0）；x-1（x＜0）
那么在x=0这点不连续，f（0）=1
这样求左导数的时候，不能直接根据左边的表达式x-1求出左导数为1
而应该根据定义公式lim（x→0-）（f（x）-f（0））/（x-0）
=lim（x→0-）（（x-1）-1）/x（记住f（0）由x+1算出来等于1，而不是由x-1算出来等于-1）
=lim（x→0-）（x-2）/x
很明显这个极限是无穷大，所以没有左导数。