Question

如图 已知正三角形ABC,D为三角形ABC外一点,连接AD,CD,BD且AD=3,CD=4。（1）若角BDC=60度，求BD的长（2）

Answer 1

(1) 解：过点A分别作AE垂直BD于E ，AF垂直CD交CD的延长线于F
所以角AEB=角AED=90度
角AFC=角AFD=90度
所以角AED=角AFD=90度
三角形AEB和三角形AFC是直角三角形
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=AC
角ABC=角ACB=角BAC=60度
因为角BDC=60度
所以角BAC=角BDC=60度
所以A ,B ,C ,D四点共圆
所以角ADB=角ACB=60度
角ADF=角ABC=60度
所以角ADB=角ADF=60度
因为AD=AD
所以三角形ADE全等三角形ADF (AAS)
所以DE=DF
所以直角三角形AEB全等直角三角形AFC (HL)
所以BE=CF
因为BD=BE+DE
CF=CD+DF
所以BD=CD+2DE
因为角ADB+角AED+角DAE=180度
所以角DAE=30度
所以在直角三角形AED中，角AED=90度 角ADE=30度
所以DE=1/2AD
因为AD=3
所以DE=3/2
因为CD=4
所以BD=3+4=7
所以BD的长是7

Answer 2

一问我有更好的解答:
如图，延长DC至点E,使DE=BD,连接BE
因为∠BDC=60°
所以△BDE为等边三角形
所以∠DBE=∠E=60°,BD=BE
因为△ABC为等边三角形
所以AB=BC,∠ABC=60°
所以∠ABD＋∠DBC=∠CBE＋∠DBC
即∠ABD=∠CBE
所以△ABD≌△CBE(SAS)
所以AD=CE=3
所以DE=DC＋CE=4+3=7
即BD=7