与 k=2 的直线平行，则切线斜率也是k=2，由k=f '(1)=a+1+ln1=a+1=2 得
（1）a=1
（2）由（1）知f(x)=x+xlnx。因为x>0 所以 x²>0 所以 x² 可作分母，所以 证 f(x)≤(k²+k-1)x² 可转化为证 k²+k-1≥(1+lnx)/x。现在令 g(x)=(1+lnx)/x，再令 g'(x)=-lnx/x²=0【注意x²≠0，只能-lnx=0】得x=1。在0<x<1时g'(x)=-·-/+>0，g(x)单调递增；x>1时g'(x)=-·+/+<0，g(x)单调递减，所以g(x)在x=1时取最大值g(x)max=g(1)=(1+ln1)/1=1
由 k²+k-1≥1 即 (k+2)(k-1)≥0 得 k≤-2 或 k≥1
（3）【说明：n的m次根式 横向写成 n^(1/m) 即n的(m分之1)次方 哈】下面只写加粗部分，其余为提示，不写。
因为 n>m>1，(n，m∈N+) 所以，要证n*m^(1/n)>m*n^(1/m) 等于证【不等式两边同时乘以 1/(mn)】 m^(1/n)/m>n^(1/m)/n 等于证 要证 m^(1/n-1)>n^(1/m-1) 等于证 m^[(1-n)/n]>n^[(1-m)/m] 取倒数【不等式基本性质：同正同负不等式反号（异号不变号），如3>2，则1/3<1/2。注意：m^[(1-n)/n]的倒数是m^[(n-1)/n]】等于证 m^[(n-1)/n]<n^[(m-1)/m] 取对数【在(1，+∞)底大于1，对数函数与指数函数同增同减，取对数不变号】等于证 (n-1)ln(m)/n<(m-1)ln(n)/m 乘-1反号【注意：-ln(m)=1/ln(m)】等于证 (n-1)ln(n)/n>(m-1)ln(m)/m
令 f(x)=(x-1)lnx/x 再由 f'(x)=(x+lnx-1)/x²=0 得 x=1 知 x>1时 f'(x)>0 即 f(x)在 x>1上单调递增，取 n>m>1 则有 (n-1)ln(n)/n>(m-1)ln(m)/m 即 n*m^(1/n)>m*n^(1/m)
