Question

设（X，Y）服从在区域D上的均匀分布，其中D为X轴，Y轴及X

Answer 1

详细过程是，①求XY的密度函数f(x,y)。由题设条件，D={(x,y)丨x>0,y>0，x+y<1}。又，D的面积SD=1/2，∴由二维均匀分布的定义，其密度函数为f(x,y)=1/SD=2，(x,y)∈D、f(x,y)=0，(x,y)∉D。
②求X、Y的边缘分布密度函数。根据定义，X的边缘分布密度函数fX(x)=∫(0,1-x)f(x,y)dy=2(1-x)，0<x<1、fX(x)=0，x其它。同理，Y的边缘分布密度函数fY(y)=2(1-y)，0<y<1、fY(y)=0，y其它。
③求特征值E(X)、E(Y)、E(XY)。E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=∫(0,1)2x(1-x)dx=1/3。同理，E(Y)=1/3。E(XY)=∫(0,1)dx∫(0,1-x)xyf(x,y)dy=2∫(0,1)dx∫(0,1-x)xydy=1/12。
④求Cov(X,Y)。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/12-(1/3)²=-1/36。
供参考。