Question

若f(x)在（-∞，a]上连续，且f(x) 的极限存在。证明f(x)在（-∞，a]上有界。

Answer 1

你说的极限存在，暂且理解为是 f(x) 在 x 趋于负无穷的时候极限存在，设极限值为 L。如果是这样的话，考虑将区间分成 (-无穷，M] ，在这个区间上f(x) 属于 [L-1,L+1] （这利用到了连续函数的性质）；考虑剩下的区间[M,a] ,由于是闭区间，所以存在最大最小值 L_1,L_2。因此函数 f 在整个定义域的上界为 L+1 和 L_2 较大那个，故上有界。

Answer 2

对于每一点可以用定义证得有界。

Answer 3

表达不清。