Question

一道高三数学题，急求解答！！

是否存在实数a,b,c，是函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)的图像过点M(-1,0),且满足条件：对一切x属于R，都有x小于等于f(x)小于等于(1/2)(1+x^2)?

回答好的加分！这是作业题，很急！

Answer 1

解：假设存在实数a、b、c满足题设条件
即f(x)= 0方程，有至少存在一个实数根 ，所以必有Δ≥0
带入定点M得：f(-1)=a-b+c=0 …………1
又对于一切实数x∈R，都有x≤f(x) ≤1/2(1+x²)
当x=1时，1≤f(1) ≤1 即f(x)=1
得： f(1)= a+b+c=1 ……………2
由1，2式得 c=1/2- a b=1/2
带入Δ≥0 得 b²-4 a c≥0 即 （1/2）²-4 a（1/2-a）≥0
解不等式得 a∈R且a≠0
现在只需推出又对于一切实数x∈R，都有x≤f(x) ≤1/2(1+x²)
即 （1）式 f(x) - x≥0 （2）式 f(x) -1/2(1+x²)≤0恒成立即可
由1）式得 ax²-1/2 x+1/2- a≥0 所以只要Δ=（-1/2）²-4 a（1/2-a）≥0恒成立即可， 显然Δ≥0恒成立。
由2）式得 （a-1/2）x²-1/2 x-a≤0要使（2）恒成立
ⅰ 当a-1/2=0时 即a=1/2 由2）式得 -1/2 x-1/2≤0 显然不成立；
ⅱ 当a-1/2≠0时 即a≠1/2，
必需有： （a-1/2 ）•f(x0)≥0 注：x0 为对称轴
Δ≤0
这两个条件同时满足
带入化简得：（a-1/2 ）｛（16a ²-8 a +3）/（4 a-2）｝≤0
即a＜1/2
即Δ=（1/2）²-4 a（a-1/2）≤0 化简得 （4 a-1）²≤0 得 a=1/4
即得：c=1/4

综上所述：仅当a=1/4 b=1/2 c=1/4 时，假设成立。
即存在实数，满足题设假设。
你还有什么不会做的,及时发过来我帮你侃侃

Answer 2

解：结论：存在实数a,b,c使不等式成立.

证明：因为f(x)图像过,(-1,0),所以f(-1)=a-b+c=0...(1)
又因为对一切x属于R，都有x小于等于f(x)小于等于(1/2)(1+x^2)?,
所以1<=f(1)<=(1/2)*2=1,所以f(1)=1,即f(1)=a+b+c=1...(2)
由(1),(2)，得：b=1/2,c=1/2-a
所以f(x)=ax^2+(x/2)+[(1/2)-a],x属于R.
令y=f(x)-x=ax^2-(x/2)+[(1/2)-a],因为对于一切实数x,y非负，且a非零所以由二次函数理论，得：a>0...(3)
y的判别式=(1/4)-4a[(1/2)-a]<=0...(4)
解得a=1/4
令u=f(x)-(1/2)(1+x^2)=[a-(1/2)]x^2+(x/2)-a,因为对于一切实数x,u非正；当a=1/2时，u=(x-1)/2不符合条件;所以访上，得：
a-(1/2)<0...(5)
u的判别式=(1/4)+4[a-(1/2)]a<=0...(6)
解得a=1/4

综上，a=1/4，b=1/2，c=1/4
所以存在实数a,b,c使不等式成立.

Answer 3

x^2+(y-2)^2=1
圆心（1，2）再有直线L:x-2y=0
所以圆心到直线距离大于半径，圆与直线无交点
(M点应该是圆心吧，虽然你没说)
切点为A，那么MA,与PA垂直，三角形MAP为直角三角形，所以过三点圆的圆心是线段PM中点。
P在直线L上，可以设P坐标为（m,m/2）,所以PM中点坐标为：（m/2,m/4+1）用两点间距离公式容易得到DO长度关于m的函数是：
Y=
———————
------④
√5/16*m^2+m/2+1
这个函数里面的二次整式不论如何都不会小于0的了
接下去是讨论了，以m=-b/2a=-4/5为分界点，讨论-4/5<=t---①;
t<-4/5<t+4---②
t+4<=-4/5---③
如果①即把t带入④得
Ymin=
———————
-4/5<=t
√5/16*t^2+t/2+1
如果②把-4/5带入④得Ymin=4/5
-4/5<t<-24/5
如果③把t+4带入④得
Ymin=
————————
t<=-24/5
√5/16*t^2+13t/8+8
这些就是全部解了，不知有没有算错（-_-!）