Question

利用幂级数的运算性质求其和函数

Answer 1

设S(x)=∑[x^(n+1)]/[(n+1)n]。易得，其收敛区间为x∈(-1,1)、收敛域为x∈[-1,1]。
在其收敛区间、由S(x)两次对x求导，有S''(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)。
∴两边对x积分，有S'(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-ln(1-x)。两边在对x积分，有S(x)=-∫(0,x)ln(1-x)dx=(1-x)ln(1-x)+x。
供参考。

追问

最后一步不太懂，为什么它的原函数等于那个

我最后求出来就是(1-x)ln(1-x)-1+x不知道哪里错了

追答

你的也没错，取定积分时，常数“-1”会抵消的。这样做，可以直接消去“-1”。用分部积分法，
-∫ln(1-x)dx=∫ln(1-x)d(1-x)=(1-x)ln(1-x)+∫dx=(1-x)ln(1-x)+x+C，取定积分即可。