Question

微分方程解的结构性质是适用于特解还是通解？

比如二阶常系数非齐线性微分方程=fx+gx
分成两块得到两个通解y和z
那么y+z就是原来的通解吗？

再比如：齐次通解+非齐次特解=非齐通解 也是运用解的结构性质吗

Answer 1

是的，因为是线性所以右侧可以拆解成多个微分方程分别求解，而齐次容易求通解，再与非齐次部分特解相加就得到通解

追问

那是运用解的结构了？可是解的结构没说适用于通解还是特解啊 只是说齐解+非齐=非齐 这里指的是啥？

追答

多少阶微分方程的通解就有多少个可任意取值的常数，而线性微分方程的性质是非齐次通解+齐次特解=非齐次线性方程的解，而且恰好含足够可变常数，所以是通解

追问

不不 我是问解的结构这个性质里面说的 是非齐特解+齐次特解=非齐特解 还是非齐通解+齐次通解=非齐通解

还是就是解 特解通解都可以

追答

都对，但你说的后者加和后常数会合并

直接用非齐次通解+齐次特解来得到通解就好了，没必要想复杂

呸，齐次通解+非齐次特解

追问

非齐通解+齐次通解=非齐通解咯？

追答

对啊。

你可以把线性微分方程左侧当做f(y)，有线性性质f(y1)+f(y2)=f(y1+y2)，齐次解f(y1)=0，非齐次解f(y2)=g，那么f(y1+y2)=g，是不是通解则看化简后不定常数的个数。