Question

用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化时为什么要单位化

书上说用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化时要正交化单位化，为什么要单位化，可以只做正交化不做单位化吗?如下图求Q可以只做到正交化吗？

Answer 1

要保证，这个矩阵乘这个矩阵的转置等于单位阵。

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。

线性代数：

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。

线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

Answer 2

不可以，求正交矩阵Q就要先正交化再单位化，只正交化求出来的不是正交矩阵。正交矩阵是这样的矩阵：其列（行）向量组两两正交，且每个列（行）向量是单位向量。

Answer 3

要保证，这个矩阵乘这个矩阵的转置等于单位阵
这样，这个矩阵的逆矩阵就和它的转置相等
这样就可以把相似表达式中的逆矩阵替换为转置
最后变成合同矩阵，这样就可以把二次型标准化