A1F=根5
AE=根3，A1E=根7
EF平方+A1F平方=A1E平方
由勾股定理
EF垂直于A1F
（1）、如图所示，连接AE、A₁E。
因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中底面△ABC为等边三角形且AB=BB₁=2，
所以该三棱柱为各棱长均为2的直三棱柱，可知三个侧面为正方形，
由点E、F分别为BC、BB₁中点算得CE=BE=BF=B₁F=1，则EF=√2，A₁F=√5，
由点E为等边△ABC中BC的中点可知AE=√3，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中有AA₁⊥平面ABC，AE在平面ABC上，所以AA₁⊥AE，
则在直角△A₁AE中算得A₁E=√7，
因为在△A₁FE中EF=√2，A₁F=√5，A₁E=√7，满足勾股定理EF²+A₁F²=A₁E²，
所以△A₁FE为∠A₁FE=90°的直角三角形，即EF⊥A₁F。
【附第（2）题解析，因为较难判断过点E的垂直平面A₁CF的垂线位置，所以可使用体积法】
（2）、如图所示，连接AE、A₁E，取AC、A₁C中点G、H，连接BG、GH、FH。
因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中有平面ABC⊥平面BB₁C₁C，两平面相交于BC，
点E为等边△ABC中BC的中点，可知AE⊥BC，所以AE⊥平面BB₁C₁C，
则AE为三棱锥A₁-CEF的高，可算得三棱锥A₁-CEF的体积=△CEF面积×AE×1/3
=CE×BF÷2×AE×1/3=1×1÷2×(√3)×1/3=(√3)/6，
因为在均为正方形的三个侧面中算得A₁C=2√2，A₁F=CF=√5，
所以△A₁FC为等腰三角形，由点H为A₁C中点可知FH⊥A₁C，
因为点F、G、H分别为BB₁、AC、A₁C中点，所以AA₁平行且等于2GH平行且等于2BF，
即BF平行且等于GH，可知四边形BFHG为平行四边形，有AE=BG=FH=√3，
所以等腰△A₁FC的面积=A₁C×FH÷2=(2√2)×(√3)÷2=√6，
则由三棱锥A₁-CEF体积=△A₁FC面积×点E到平面A₁CF距离×1/3
=(√6)×点E到平面A₁CF距离×1/3=(√3)/6即可算得点E到平面A₁CF的距离为(√2)/4。
