Question

1/(1+X^2)^2在[0，+∞]上的定积分怎么求？

Answer 1

令x=1/t，换元后有：

∫t/[(1+t)(1+t^2)]dt 积分限不变

所以，这个换元后的式子和原始的相加有：

(1/2)I=∫1/(1+x^2)dx 积分限0到正无穷

得：I=(1/2)arctanx 代人积分限有

I=pi/8

把函数在某个区间上的图象[a，b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。

扩展资料：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫dx/[(1+x^2)^2]
令x=tanα α∈(-π/2，π/2)
cosα=[1/(1+x^2)]^(1/2)
sinα=x[1/(1+x^2)]^(1/2)
∫dx/[(1+x^2)^2]
=∫dtanα/[(secα)^4]
=∫dα/(secα)^2
=∫(cosα)^2dα
=0.5∫(cos2α + 1)dα
=0.5∫cos2αdα + 0.5∫dα
=(sin2α)/4 + α/2 + C
=sinαcosα/2 + α/2 + C
=x/[2(1+x^2)] + 1/2 arctanx + C

1/[(1+x^2)^2]在[0，+∞]上的定积分
=lim(x→+∞) x/[2(1+x^2)] + 1/2 lim(x→+∞) arctanx
=0+1/2 × π/2
=π/4

Answer 3

令t=1/x
你可以得到
这个函数在[0，+∞]的积分和函数x^2/(1+X^2)^2在[0，+∞]的积分相等……
相加直接就能转为1/2倍的1/1+x^2在[0，+∞]积分
pi/4

Answer 4

π/2
∫dx/[(1+x^2)^2]=arctanx + C

Answer 5

先把1/(1+x^2)^2的不定积分求出来

然后再求定积分，详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问