Question

一道高数极限题，如图114题，我画红线处，请问，第一处红线后，第二处红线分子用了等价无穷小，我想问

这里红线的圈1部分和圈2部分是相加的关系，不是说相加的关系，则一般圈1不用等价无穷小，这里怎么用了？还有，请问在分子加减的情况下，等价无穷小的使用条件是什么？谢谢指教

Answer 1

不要轻易使用，这题之所以可以，是因为被减的部分是一阶无穷小，而等价出来既有一阶无穷小，又有二阶无穷小。尤其是减法，运算之后结果为0，那么一般就不能用替换。

当等价出来的无穷小阶数不小于与之加减的因式的无穷小阶数，就可以替换，说得有点绕。举个例子，你应该会明白一些。

理论上来说，所有的加减法都可以替换，不过要取合适的阶数 。

以上，请采纳，不懂再问。

追问

请问，这里圈1部分使用等价无穷小时，得到的是一阶at+二阶的bt^2

后面是加的dt，这个怎么看能不能使用

还是有点不懂

你的中心思想就是，当得到的等价无穷小的阶数≥没等价前的阶数，这样就可以吗

追答

后面的dt是一阶无穷小，①里使用等价无穷小得到的是一阶+二阶，不低于dt，所以是可以用的。实际上，只要替换进去后得到的不是0，都可以替换。

追问

你是指替换后分子除以分母的结果不是0，还是分子部分不是0？

追答

因为分母是0，如果分子替换出来后相减也是0，而且分子的无穷小阶数低于分母，那么肯定不能直接替换。就像我举的例子一样，sinx-x，直接替换就是0，但实际上是 -x^3/6
所以，这个能不能替换不是三言两语能说清楚的，建议你学了泰勒展开后再回头看，就简单多了。

Answer 2

条件t～0 大哥，就是等价的呀，没看公式？

追问

相加呀？

分子是两个部分相加，前面部分使用了等价无穷小，

所以我纠结这种情况为什么使用等价无穷小？

Answer 3

哇塞，好难啊