Question

怎样求圆上一点到直线的最短距离

Answer 1

因为圆心O（1，-2）到直线2X-y+1=0的距离为√5大于圆的半径2，所以直线和圆是没有交点的，那么圆到这条直线的最小距离是大于零的。我们可以通过将直线2X-y+1=0进行平移直到它刚和圆相切而之前未和圆相交时为止，直线所移动的距离就是圆到它的最短距离，设平行后和圆相切的直线方程为y=2x+a将y=2x+a代入到圆的方程中，得到5x^2+(4a+6)x+a^2+4a+1=0,因为直线y=2x+a刚好和圆相切故方程的判别式应等于零。所以有-4a^2-32a+16=0解得a=2√5-4或a=-2√5-4在这里我们要舍去一个，通过作图我们知道原直线2X-y+1=0是在圆的左上方的，那么应该是a=2√5-4先和圆相切的，对于a=-2√5-4这条直线是在直线2X-y+1=0平移过程先和圆相交了之后，再出现相切的。所以a=2√5-4那么直线2X-y+1=0与直线y=2x+2√5-4之间的距离就是圆上的点到直线直线2X-y+1=0的最小距离，是|2√5-4-1|/√（2^2+1^2）=√5-2

Answer 2

因为圆心O（1，-2）到直线2X-y+1=0的距离为√5大于圆的半径2，所以直线和圆是没有交点的，那么圆到这条直线的最小距离是大于零的。我们可以通过将直线2X-y+1=0进行平移直到它刚和圆相切而之前未和圆相交时为止，直线所移动的距离就是圆到它的最短距离，设平行后和圆相切的直线方程为y=2x+a将y=2x+a代入到圆的方程中，得到5x^2+(4a+6)x+a^2+4a+1=0,因为直线y=2x+a刚好和圆相切故方程的判别式应等于零。所以有-4a^2-32a+16=0解得a=2√5-4或a=-2√5-4在这里我们要舍去一个，通过作图我们知道原直线2X-y+1=0是在圆的左上方的，那么应该是a=2√5-4先和圆相切的，对于a=-2√5-4这条直线是在直线2X-y+1=0平移过程先和圆相交了之后，再出现相切的。所以a=2√5-4那么直线2X-y+1=0与直线y=2x+2√5-4之间的距离就是圆上的点到直线直线2X-y+1=0的最小距离，是|2√5-4-1|/√

Answer 3

设这个圆是圆o
既圆心为o
设那一点为p
连接op
延长op交圆o于a
楼主此时肯定知道pa就是要求的最短距离
现在来证明：
设圆o上除a点外的一点b
连接ob
在三角形obp中
我们知道
bo

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