Question

为什么n维线性空间中的n个线性无关的向量都可以构成它的一组基？谢谢

Answer 1

在空间中任取一个向量b
加入这n个线性无关的向量ai(i=1,2,...,n)
那么这n+1个向量一定是线性相关的
故存在一组不全为0的ki(i=1,2,...,n)和c
使得k1*a1+k2*a2+...+kn*an+c*b=0
易知c≠0
那么把等式整理下
可得b=...
即b可由ai(i=1,2,...,n)线性表示
由b得任意性知ai(i=1,2,...,n)是空间的一组基

Answer 2

因为rn中的任意一向量均可由这n个线性无关的n维向量线性表出,故它是rn的一组基.
下面证明这一事实,
设x是rn中的任意一向量,a1,a2,...,an是n个线性无关的n维向量,由rn中任意n+1个向量必然线性相关,故x,a1,a2,...,an线性相关,即存在不全为零的数b,k1,k2,...,kn,使得
bx+k1a1+k2a2+...knan=0,
b不为零,否则k1a1+k2a2+...+knan=0,与a1,a2,...,an是n个线性无关矛盾,故
x=（-k1a1-k2a2-...-knan/b,