Question

函数在一点沿什么方向，方向导数最大？

Answer 1

梯度方向。

在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

扩展资料：

梯度的应用

1、设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度、温度或空间，则分别称为速度梯度、浓度梯度、温度梯度或空间梯度。

2、在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的特殊情况。

3、在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

参考资料来源：百度百科-梯度

参考资料来源：百度百科-方向导数

Answer 2

由u=xy2z，得gradu（1，-1，2）=(ux，uy，uz)|(1，-1，2)=(y2z，2xyz，xy2)|(1，-1，2)=（2，-4，1）
而方向导数
?u
?l
|M0=(u′x|M0，u′y|M0，u′z|M0)?(cosα，cosβ，cosγ)，其中（cosα，cosβ，cosγ）是l的方向向量
因此，当l的方向与梯度的方向一致时，方向导数取得最大
∴u在点（1，-1，2）处沿
l
=(2，-4，1)的方向导数最大．
且最大的方向导数值为|(2，-4，1)|=
21
．

Answer 3

设有一小山,取它的底面所在的平面为
坐标面,其底部所占的区域为
,小山的高度函数为
.
(1)
设
为区域
上一点,问
在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为
,试写出
的表达式；
(2)
现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在
的边界线
上找出使(1)中的
达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.