Question

求tanx的平方在0-π（派）/4的定积分。

Answer 1

关键是求出：∫（tanx）^2dx。
方法一：
∫（tanx）^2dx
＝∫［（sinx）^2/（cosx）^2］dx＝－∫［sinx/（cox）^2］d（cosx）＝∫sinxd（1/cosx）
＝sinx/cosx－∫（1/cosx）d（sinx）＝tanx－∫（cosx/cosx）dx＝tanx－x＋C。
方法二：
∫（tanx）^2dx
＝∫［（sinx）^2/（cosx）^2］dx＝∫｛［1－（cosx）^2］/（cosx）^2｝dx
＝∫［1/（cosx）^2］dx－∫dx＝tanx－x＋C。
方法三：
∫（tanx）^2dx
＝∫［（sinx）^2/（cosx）^2］dx＝∫（sinx）^2d（tanx）＝（sinx）^2tanx－∫tanxd［（sinx）^2］
＝（sinx）^2tanx－∫tanx（2sinxcosx）dx＝（sinx）^2tanx－∫［2（sinx）^2］dx
＝（sinx）^2tanx－∫（1－cos2x）dx＝（sinx）^2tanx－∫dx＋（1/2）∫cos2xd（2x）
＝（sinx）^2tanx－x＋（1/2）sin2x＋C＝（sinx）^2tanx＋sinxcosx－x＋C
＝（sinx）^2tanx＋tanx（cosx）^2－x＋C＝tanx－x＋C。
于是：
∫（上限为π/4、下限为0）（tanx）^2dx
＝（tanx－x）｜（上限为π/4、下限为0）＝tan（π/4）－π/4＝1－π/4。
注：你的表达出现了歧义，总不会是求
∫（上限为π/4、下限为0）［tan（x^2）］dx
吧。