Question

绝对值不等式证明题

Answer 1

1)用反证法证明
假设:|x|<a,|y|<a,|z|<a
绝对值不等式
|x+y+z|<=|x|+|y|+|z|
∴
|3a|<=|x|+|y|+|z|<a+a+a=3a,
即|a|<a矛盾
∴假设不成立,原命题得证
2)原不等式等价于
|1-abx|>|ax-b|恒成立
∴(1-abx)^2>(ax-b)^2,
即1+a^2b^2x^2-2abx>a^2x^2+b^2-2abx
∴a^2(1-b^2)x^2<1-b^2
∵|b|<1,
1-b^2>0
∴x^2<1/a^2恒成立,
x^2小于1/a^2最小值即可
1/a^2>1,
最小值趋近于1
∴x^2<=1
∴-1<=x<=1
(当然x≠b/a,否则分时就没有意义啦)