Question

△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，圆O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，如图，

Answer 1

连结OD，OE，OF，则OD垂直于AB，OE垂直于BC，OF垂直于AC。
连结OB，则BO是角ABC的角平分线，角OBC=15度。
设BO交DE于H，则BH垂直于DE。
三角形CGE相似于三角形HBE（两角相等），角G=角OBE=15度。
设内接圆半径r=1，则：
AF=AD=OF×tan30=根号3/3，
AC=AF+CF=根号3/3+1，
BC=AC×tan60=（根号3/3+1）×根号3=3+根号3，
BE=BC-BE=3+根号3-1=2+根号3，
tan角OBE=tan角G=OE/BE=1/（2+根号3）=2-根号3
也可以用三角差公式得出：
tan15
=tan（45-30）
=（tan45-tan30）/（1+tan45×tan30）
=（1-根号3/3）/（1+根号3/3）
=（1-根号3/3）^2/（1-1/3）
=（1+1/3-2×根号3/3）/（2/3）
=（3+1-2×根号3）/2
=2-根号3
结果一致