Question

标准正交基下的向量坐标及其线性运算

Answer 1

标准是指每个向量的长度为单位长
1
，
正交是指每两个向量都垂直，
基是指一组向量，用它们可以表示空间中所有向量。
在
n
维空间中，标准正交基就是指这样
n
个向量：a1=(1，0，0，。。。。，0），
a2=(0，1，0，0，。。。，0），a3=(0，0，1，0，。。。，0），。。。
an=(0，0，0，。。。，0，1）
。
如果向量
p
可以表示成
p=x1*a1+x2*a2+....+xn*an
，
那么（x1，x2，x3，。。。，xn）就叫向量
p
在基｛a1，a2，。。。，an｝下的坐标。
坐标与线性运算的关系是：
1、和向量的坐标等于向量坐标的和；
2、差向量的坐标等于向量坐标的差；
3、数乘向量的坐标等于这个数乘以向量的坐标。
纯手打，真的不容易，希望采纳。

Answer 2

用三维欧式空间举例，其坐标向量(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是正交的，同样也是线性无关的，但线性无关的向量就不一定正交了，例如(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)是线性无关的，它也构成三维欧式空间的一组基底（不是坐标基底），但它们不是正交的。