Question

已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).

Answer 1

1、f(x)=-2lnx+x^2
f'(x)=-2/x+2x=2(x+1)(x-1)/x
当x>1时,f'(x)>0,所以函数在x>1时是增函数;
2、f'(x)=a/x+2x=(x^2+a)/x,定义域x>0
所以函数的单调性看x^2+a的符号。在[1,e]上,a+1<=x^2+a<=e^2+a
(1)a>-1时,增,f(1)=1最小
(2)a<-e^2时,减,f(e)=a+e^2最小
(3)-1<=a<=e^2,先增后减,所以要比较f(1)=1与f(e)=a+e^2的大小关系。显然,f(1)最小。
3、就是alnx+x^2<=ax+2x,即:a(x-lnx)>=x^2-2x,所以就是求(x^2-2x)/(x-lnx)的最大值,只要a大于等于最大值,就会恒成立。
令g(x)=(x^2-2x)/(x-lnx)
则g'(x)=(x^2+x-2-(2x-2)lnx)/(x-lnx)^2
判断g'(x)的符号就看h(x)=x^2+x-2-(2x-2)lnx的正负
h'(x)=x+2/x-2lnx>0恒成立。(因为x+2/x>=2根号2,而lnx<=1)
所以h(x)单增,最小值为h(1)=0
所以g'(x)>0,g(x)单增,最大值为:g(e
所以,a>=(e^2-2e)/(e-1)即可。
如果算错数了,你自己改一下,方法没问题。

Answer 2

1、f(x)=-2lnx+x^2
f'(x)=-2/x+2x=2(x+1)(x-1)/x
当x>1时，f'(x)>0，所以函数在x>1时是增函数；
2、f'(x)=a/x+2x=(x^2+a)/x，定义域x>0
所以函数的单调性看x^2+a的符号。在[1,e]上，a+1<=x^2+a<=e^2+a
（1）a>-1时，增，f(1)=1最小
（2）a<-e^2时，减，f(e)=a+e^2最小
（3）-1<=a<=e^2，先增后减，所以要比较f(1)=1与f(e)=a+e^2的大小关系。显然，f(1)最小。
3、就是alnx+x^2<=ax+2x,即：a(x-lnx)>=x^2-2x,所以就是求(x^2-2x)/(x-lnx)的最大值，只要a大于等于最大值，就会恒成立。
令g(x)=(x^2-2x)/(x-lnx)
则g'(x)=(x^2+x-2-(2x-2)lnx)/(x-lnx)^2
判断g'(x)的符号就看h(x)=x^2+x-2-(2x-2)lnx的正负
h'(x)=x+2/x-2lnx>0恒成立。（因为x+2/x>=2根号2，而lnx<=1)
所以h(x)单增，最小值为h(1)=0
所以g'(x)>0，g(x)单增，最大值为：g(e
所以,a>=(e^2-2e)/(e-1)即可。
如果算错数了，你自己改一下，方法没问题。

Answer 3

1、f(x)=-2lnx+x^2
f'(x)=-2/x+2x=2(x+1)(x-1)/x
当x>1时，f'(x)>0，所以函数在x>1时是增函数；
2、f'(x)=a/x+2x=(x^2+a)/x，定义域x>0
所以函数的单调性看x^2+a的符号。在[1,e]上，a+1<=x^2+a<=e^2+a
（1）a>-1时，增，f(1)=1最小
（2）a<-e^2时，减，f(e)=a+e^2最小
（3）-1<=a<=e^2，先增后减，所以要比较f(1)=1与f(e)=a+e^2的大小关系。显然，f(1)最小。
3、就是alnx+x^2<=ax+2x,即：a(x-lnx)>=x^2-2x,所以就是求(x^2-2x)/(x-lnx)的最大值，只要a大于等于最大值，就会恒成立。
令g(x)=(x^2-2x)/(x-lnx)
则g'(x)=(x^2+x-2-(2x-2)lnx)/(x-lnx)^2
判断g'(x)的符号就看h(x)=x^2+x-2-(2x-2)lnx的正负
h'(x)=x+2/x-2lnx>0恒成立。（因为x+2/x>=2根号2，而lnx<=1)
所以h(x)单增，最小值为h(1)=0
所以g'(x)>0，g(x)单增，最大值为：g(e
所以,a>=(e^2-2e)/(e-1)即可。
如果算错数了，你自己改一下，方法没问题。