Question

求数列1+1/2，2+1/4， 3+1/8， 4+1/16，...的前N项和

Answer 1

1+1/2，2+1/4，
3+1/8，
4+1/16，...，n+(1/2^n)，2^n表示2的n次方
前n项的和是
(1+1/2)+(2+1/4)+(3+1/8)+(4+1/16)+...+(n+(1/2^n))
=(1+2+3+4+...+n)+(1/2+1/4+1/8+1/16+...+1/2^n)
=[(1+n)n/2]+[(1/2)(1-(1/2^n))/(1-1/2)]
=(1+n)n/2+[1-(1/2^n)]
=[(1+n)n/2]+1-(1/2^n)
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等差数列求和公式：(首项＋末项)×项数÷2
等比数列{an}求和公式：首项×(1－公比^项数)÷(1－公比)

Answer 2

此数列可以分为两个数列
1、2、3、4···通项为an=n
设其和为Sn,可得：
Sn=1+2+3+4····+n
=n(n+1)/2
1/2、1/4、····通项数bn=(1/2)^n
设其和为Tn，可得：
Tn=1/2+1/4+···+(1/2)^n
=1/2[1-(1/2)^n)/(1-1/2)
=[1-(1/2)^n)/4
所以可得原数列前N项的和为：
Sn+Tn=n(n+1)/2+[1-(1/2)^n]/4