Question

y=x√(8-2x²),求值域

Answer 1

这个问题我就帮你答了，好久不动数学的脑筋了。
你提的这个题，我看你是高中的，那我就说了：有个求导函数的方法我不建议你去关注，我现在给个比导函数省力的取巧一点的方法出来（实际这是经常用的方法，只不过一般老师可能没有讲到）。
先看根号内的，8-2x²=8（1-0.25x²）=8[1-(0.5x)²]，因为1-(0.5x)²必须大于等于0，0.5x≤1
不防令sint=0.5x,(t∈[-0.5π，0.5π])，那么x=2sint，√{8[1-(0.5x)²]}=2√2cost，则原函数式即
y=4√2sintcost=2√2sin2t
由三角函数的知识，y∈[-2√2，2√2]
再考虑，2t=-0。5π时，sint=0。5x=-0。5√2〈1，符合题意，同理2t=0。5x时也是符合的。
所以原题的答案就是
y∈[-2√2，2√2]
，无误
不知道你是否因为看不懂而不采纳，下面我再以高二以前的数学基础来给出另一种新的解答
容易判定y是一个奇函数那么最大值的相反数即是最小值，先设x>0以便求最大值，
将原函数提取公因数则得
y=√2x√（4-x^2）
由平均值定理知，此式不大于
√2*0.5[（x^2）+（4-x^2）]，即
y小于等于2√2
所以可以得结论
y属于[-2√2,2√2].

Answer 2

y=﹣x/(√(x^2+2x+2))，(y²-1)x²+2y²x+2y²=0，△=4y²(2-y²)≥0，-√2≤y≤√2；
y=﹣x/(√(x^2+2x+2))=-x/√[(x+1)²+1]，分母看成点(x,0)到点(-1,1)或(-1,-1)距离，并与原点形成三角形，边长分别为√[(x+1)²+1]、│x│、√2；有三角形两边之差小于第三边，则：√[(x+1)²+1]-│x│＜√2，x²+x-│x│√[(x+1)²+1]＜0，│x│√[(x+1)²+1]＞x(x+1),，当x＞0时，-x/√[(x+1)²+1])＞-│x│/(x+1)=-1，0＞-x/√[(x+1)²+1])＞-1；当x≤0时，y=﹣x/(√(x^2+2x+2))≥0；
综上：y=﹣x/(√(x^2+2x+2))的值域为(-1,√2]