Question

抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A,B两点（A在B的左边）,与y轴相交于点C,顶点为D

Answer 1

（1）F点的坐标为（m,n）,PF与x轴交于Q
当x=m时，n=-m²+2m+3
三角形PQBA和三角形COB是相似三角形，得到BQ/PQ=BO/CO
当x=0时，y=3，所以C坐标为（0，3），即CO=3
当y=0时，-x²+2x+3=0，解方程得到x=3和x=-1.由于A在左边，所以A坐标（-1，0），B坐标（3，0），即BO=3
则OQ=m，由BQ/PQ=BO/CO
得到PQ=3-m
PF=n-PQ=-m²+2m+3-3+m=-m²+3m
下面求DE的长。
E点处于直线BC上，抛物线对称轴为x=1，当x=1,y=4,即D点坐标（1，4）
设直线BC方程y=tx+u：代入B、C两点，3=u,3t+u=0得到t=-1,u=3
所以直线BC方程为y=-x+3.当x=1时，y=2，即E点坐标（1，2）
从而得到DE=2
要四边形PEDF为平行四边形，则当PF=DE，即-m²+3m=2
解方程得到m=1或m=2。由于m大于1（对称轴），所以m=2。
即，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形。
（2）设经过F且与直线BC垂直的直线方程为y=x+b与直线BC交于M点。
代入F：-m²+2m+3=m+b，得到b=-m²+m+3。即过点F与BC垂直的直线方程为y=x-m²+m+3
与BC相交于M，则得x=(m²-m)/2，y=-(m²-m)/2+3。即点M（(m²-m)/2，-(m²-m)/2+3）。
FM=m√2√（m²-4m+1）
三角形面积S=BC*FM/2=3m√（m²-4m+1）

Answer 2

题目错了，应该是【点p为线段bc上的一个动点】
解：（1）a（-1，0），b（3，0），c（0，3）．
抛物线的对称轴是：x=1．
（2）①设直线bc的函数关系式为：y=kx+b．
把b（3，0），c（0，3）分别代入得：
3k+b=0
b=3
解得：k=-1，b=3．
所以直线bc的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴e（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴p（m，-m+3）．
在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴d（1，4）
当x=m时，y=-m2+2m+3，
∴f（m，-m2+2m+3）
∴线段de=4-2=2，
线段pf=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m
∵pf∥de，
∴当pf=ed时，四边形pedf为平行四边形．
由-m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形pedf为平行四边形．
②设直线pf与x轴交于点m，由b（3，0），o（0，0），可得：ob=om+mb=3．
∵s=s△bpf+s△cpf
即s=1
2
pf•bm+1
2
pf•om=1
2
pf•（bm+om）=1
2
pf•ob．
∴s=1
2
×3（-m2+3m）=-3
2
m2+9
2
m（0≤m≤3）．